Evolución de la Aritmética entre los Árabes

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras".

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. 


Éste nuevo sistema consistía de diez símbolos, y la posición de cada uno de ellos era significativa, es decir, un número podía ocupar la posición de la unidad, decena, centena, etc. Fue el primero en utilizar el cero. 

Adrián Paenza en su libro Matemáticas...¿estas ahí? dice:"Europa tardó más de cuatrocientos años en adoptar la numeración arábiga ( osea,los números que usamos hoy) y cambiar lo que se usaba hasta entonces (los números romanos). El primero que los introdujo en Europa fue el famoso Fibonacci, hacia 1220. Fibonacci, cuyo padre italiano lo había llevado de niño al norte de Äfrica, entendió claramente la necesidad de usar otra numeración más apropiada. Pero si bien no quedaban dudas de las ventajas que la nueva numeración tendría, los mercaderes de la época se ocuparon de evitar el progreso que les impediría a ellos hacer trampa en las cuentas.
A propósito, los romanos ignoraban al cero. La dificultad para hacer cálculos se puede resumir en algo que escribió Juan Enríquez de As the Future Catches You: "trate de multiplicar 436 por 618 en números romanos, y después me cuenta"".

El saber en el Medioevo

La Matemática interesa en Europa por el contacto con los árabes. Hasta esa época se conocía la Geometría de los griegos a la que no se le había agregado casi nada, el sistema de numeración decimal, posicional y con cero de los hindúes y generalizado por los árabes, el Álgebra y la Trigonometría de los árabes. Los números eran los naturales, racionales, irracionales, todos positivos. Los negativos eran soluciones falsas.

A partir de los siglos XII y XIII, los occidentales comienzan a dar fundamentos, ya visualizados hasta entonces de la Matemática. 

Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180 1250) más conocido como Fibonacci al difundir el actual sistema numérico (indo-arábigo) que utiliza la base 10 o decimal, mucho mejor que cualquiera de los existentes, y más en Italia donde aún funcionaban con los numerales romanos y el ábaco. Una de las ventajas del nuevo sistema era que se podían escribir las operaciones en papel, mientras que con números romanos no había forma de hacerlo: solo se anotaba el resultado final y para los cálculos había que emplear el ábaco. Al principio, la mayoría, en especial los mercaderes, no estaba muy entusiasmada, pero poco a poco su practicidad quedó fuera de toda duda convirtiéndose en instrumento indispensable para el desarrollo del comercio. Durante bastante tiempo la sucesión o números de Fibonacci no fue más que el resultado de uno de los muchos problemas planteados en el libro “Liber Abaci”. Tanto es así que el propio Fibonacci nunca llegó a conocer su trascendencia, ni que su nombre quedaría unido a su solución.

Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue JordanoNemorarius (1225-1260) quien debemos la primera formulación correcta del problema del plano inclinado. El profesor parisino Nicole Oresmes (1323-1382) generalizó el concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.

Cuando se traducen los Elementos de Euclides, la fundamentación axiomática lleva a pensar que lo que él hizo para la Geometría, se podría hacer con los números, surge la idea de fundamentar axiomáticamente a los números naturales.

Ya en el siglo XV, época de las grandes navegaciones, la Trigonometría fue separada de la Astronomía, alzándose como ciencia independiente de la mano de Müller.

El Renacimiento de la Matemática, Cardan y Tartaglia

En el Renacimiento, se produjo la mayor profusión de aritméticas: la de Francesco Pellos, Luca Pacioli, Stiefel …Una de las anécdotas más curiosas ocurrió cuando, Stiefel, basado en su misticismo numérico, comenzó a predicar el fin del mundo para el 18 de octubre de 1511 estando a punto de ser linchado por sus seguidores al no ocurrir nada ese día. En 1544 después de 9 años de estudio sistemático de la Matemática, publica su Arithmetica integra donde mejora la representación de las potencias de la incógnita en una ecuación y utiliza por primera coeficientes negativos sin embargo, incomprensiblemente, seguirá ignorando las soluciones negativas de una ecuación. Podemos apreciar en la imagen de la derecha, una primera edición de la Arithmetica integra donde se ve claramente el uso de los símbolos +, – y el símbolo para la raíces que ya eran usados con regularidad por aquella época, al menos en las ciudades asociadas dela Hansa, por una pléyade de maestros aritméticos en cuyas obras se desarrolló gran parte de la notación hoy habitual: el + y – para la suma y la resta, o el signo para las raíces.

Pero sin duda alguna, el mayor logro matemático del siglo XVI fue la resolución por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio. Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, médico, matemático, filósofo, escritor y astrólogo, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre renacentista.

Tartaglia nació en 1499 o 1500. Fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir. Luego enseñó matemáticas en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde murió en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. El primero en encontrar una fórmula para resolver ciertos tipos de ecuaciones cúbicas fue Scipione del Ferro aunque no los publicó. Un discípulo suyo, Antonio Fiore se hizo con ellos años más tarde. Al mismo tiempo Tartaglia que estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones descubrió más casos que los que podía resolver Fiore. Todo esto concluyó en un desafío público donde ambos contrincantes, Tartaglia y Fiore, proponían una serie de problemas y el que mayor cantidad resolvía resultaba vencedor. Cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer varios problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero. Tartaglia, suponiendo que Fiore le plantearía ecuaciones de la forma x3 + bx = c, desarrolló rápidamente un método general para resolver dichas ecuaciones; de hecho, los problemas de Fiore fueron de este tipo y Tartaglia los pudo resolver todos. Sin embargo, los que él propuso eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, los cuales ya los sabía resolver y resultaron demasiado difíciles para Fiore.

Es fácil adivinar que Tartaglia salió airoso de semejante duelo matemático.Es ahí donde entra nuestro tercer personaje: Girolano Cardano.

También escribió un libro sobre teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo: 

Tres personas quieren repartirse el aceite que hay en una garrafa de 24 litros. Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros. 

Girolano Cardano fue un médico de éxito y un reputado astrólogo -predijo incluso el día de su muerte: 21 de septiembre de 1576 fecha en que falleció. Su primera obra matemática fue Practica Arithmeticae publicada en 1539. Al enterarse del gran éxito de Tartaglia contactó con él y luego de rogarle largamente para que le enseñara la fórmula este último accedió a dársela no sin antes hacerle jurar que no la haría pública pues pensaba publicarla el mismo y ganar fama y dinero. Tardó 6 años en revelar la famosa fórmula, probablemente debido, en parte, a que Tartaglia no acababa de publicarla y por tanto decide incluirla en su Ars Magna donde Cardano introduce los números complejos a partir de un sencillo problema geométrico. Tartaglia tomó muy mal el golpe de Cardano culminando esto con un desafío en Milán en 1548 entre Ferrari, yerno de Cardano, y Tartaglia que casi termina en tragedia para Tartaglia según sostienen ciertos historiadores de la época y que terminó en un ”Empate tácito”.

A raíz de la polémica entre Cardano y Tartaglia, Rafael Bombelli, el último de los algebristas italianos del Renacimiento quien había leído el Ars Magna de Cardano a los 19 años, decidió escribir un tratado de álgebra que permitiese a cualquiera dominar el tema sin recurrir a ningún otro libro -debemos destacar que el Ars Magna de Cardano estaba escrito de manera muy poco clara-. Su obra L’Algebra contiene un tratado completo de toda el álgebra conocida en su época. En particular en su L’Algebra utiliza por primera vez los números complejos en una aplicación esencial: la resolución de la ecuación cúbica irreducible, o sea, la que tiene sus tres raíces reales; usando, como el mismo cuenta, una «idea loca» que consistía en considerar que las raíces de lo que hoy denominamos complejos conjugados tendrían que ser a su vez complejos conjugados y por tanto se podía operar con ellos formalmente aunque no existieran.

Rafael Bombelli

Para terminar este periodo destacaremos la figura del francés François Viète, quien, junto con los algebristas italianos, es sin duda la figura cumbre del álgebra renacentista. Fue precisamente Viète quien dio el paso decisivo de distinguir simbólicamente las incógnitas de los parámetros constantes, y apuntó algo hoy habitual pero muy novedoso en aquellos tiempos: la importancia del álgebra de especies o magnitudes. Una de sus primeras obras Canonem mathematicum de la cual se desconoce el lugar y fecha de edición -aunque es posible que sea de la primera-. Viète apuesta decididamente por las fracciones decimales aunque fue Stevin quien difundió el uso de los decimales fuera del ámbito matemático.

El Álgebra a partir del Renacimiento

Hasta la aparición del Ars Magna (libro de matemática) de Cardano en 1545, no hubo en el Renacimiento desarrollos trascendentes en álgebra. 

Ars Magna. 

Pero el cambio más significativo en el carácter del álgebra en el Renacimiento, relacionado con el simbolismo, fue introducido por François Viète (1540-1603) un abogado francés que se lo considera uno de los principales precursores del álgebra. Cuyo interés por las matemáticas era puro entretenimiento y fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras. Viète traza la línea divisoria entre la aritmética y el álgebra y propone utilizar una vocal para representar una cantidad que se supone en álgebra desconocida o indeterminada, y una consonante para representar una magnitud o un número que se supone conocido o dado. Esta distinción entre el concepto de parámetro y la idea de incógnita fue un paso previo a la matemática moderna. 

Durante el Renacimiento las actividades matemáticas lograron avances muy importantes en el campo del álgebra. Ya se utiliza un simbolismo rudimentario en álgebra, lo símbolos indo-arábigos están suficientemente extendidos, las fracciones decimales se desarrollan poco a poco y la teoría de las ecuaciones ha logrado comprender la solución general de la cúbica y la bicuadrática. Los matemáticos del Renacimiento se sentían continuadores de las matemáticas griegas, que es fundamentalmente geometría. En la época de Viète el álgebra, derivada de la aritmética, se percibe sólo como un catálogo de reglas. También se introdujo la notación exponencial. Los símbolos +, –, = fueron también introducidos. Este último fue propuesto por Robert Recorde pues decía que no hay dos cosas tan idénticas como dos líneas paralelas.

La contribución de François Viète al desarrollo del álgebra fue muy importante, no sólo por haber sido el primero en introducir una notación mucho más adecuada para el análisis algebraico, sino que proveyó al álgebra de un nuevo enfoque. 

La transición a la Modernidad: El cálculo infinitesimal

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.

Adrian Paenza en "Matemática... estas ahí?" dice: "... simultáneamente en Inglaterra y en Alemania, Newton, por un lado, y Leibniz, por el otro, "inventaron" EL CÁLCULO.

El cálculo abrió todo un mundo de nuevas posibilidades porque permitió el estudio del movimiento y del cambio. Hasta en ese momento, la matemática era una cosa rígida y estática. Con ello aparece la noción de "limite": la idea o el concepto de que uno puede acercarse tanto a algo como quiera aunque no lo alcance. Así "explotan" el calculo diferencial, infinitesimal, etcétera.

Con el advenimiento del calculo, la matemática, que parecía condenada a contar, medir, describir formas, estudiar objetos estáticos, se libera de sus cadenas y comienza a "moverse"".

Newton y Leibniz fueron quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

La Geometría Analítica

La geometría analítica fue inventada por dos franceses René Descartes (1596-1650) y por Pierre Fermat (1601- 1665) en forma simultánea e independiente, a principios del siglo XVII, y relaciona la matemática y el álgebra con la geometría. 

El trabajo de Descartes es más general en alcance que el de su compatriota Fermat, que es más sistemático en algunos aspectos, su mérito consiste sobre todo en la aplicación del álgebra del siglo XVI al análisis geométrico de los antiguos. 

 Descartes

Fermat

Fermat aplicó en una nueva dirección el estudio de los lugares geométricos, estableció en un lenguaje preciso el principio fundamental de la geometría analítica y además demostró que representa cada ecuación pero el trabajo de Descartes y Fermat tomaron juntos los dos aspectos complementarios de la geometría analítica: el estudio de ecuaciones a través del significado de las curvas y el estudio de curvas definidas por ecuaciones.

Además, Descartes y Fermat observaron que las ecuaciones algebraicas corresponden a figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

Lo que se conoce como geometría analítica es el estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de le corresponde un punto en un plano.

La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede aplicar a la geometría.

El mecanicismo, Descartes y Newton

La mayor aportación de Descartes a la física o filosofía natural (como se la llamó hasta finales del siglo XVIII) fue la formulación de un modelo explicativo del Universo según el cual todo lo que existe, excepción hecha del alma humana, puede reducirse a materia en movimiento. Un modelo explicativo tal recibe el nombre de modelo mecanicista. 

El proyecto científico de Descartes se caracteriza por albergar dos vías metodológicas: por un lado, éste se interesa en establecer los principios generales de la realidad, esto es, explicar las cosas a partir de sus principios verdaderos o causas, y derivar de ellos sus efectos o conclusiones; por el otro -dada su preocupación por conocer los diversos fenómenos particulares-, Descartes insiste en la consideración de la observación y experimentación de los fenómenos concretos, para decidir y apoyar la verdad de las proposiciones universales. 

Por otro lado, Isaac Newton (1642-1727) es considerado el más brillante creador de la cosmovisión moderna. Newton ha otorgado precisión a conceptos que antes carecían de ella (espacio, tiempo, masa, movimiento, fuerza). Ha establecido conexiones entre fenómenos naturales antes desconectados (celeste y terrestre; inercia y atracción) y superado grandes dificultades de orden matemático.

Uno de los aspectos filosóficos de sus Principios matemáticos de la filosofía natural, libro donde expone la teoría de la fuerza a distancia o gravitación universal, es el mecanicismo. En su majestuosa ecuación todo el universo físico queda unificado: la atracción entre dos cuerpos, sean los que sean, es proporcional a sus masas y inversamente proporcional al cuadrado de su distancia.

La precisión de esta fórmula y su base matemática, reforzaron la concepción del mundo como una gran máquina, comparable a un mecanismo de relojería; un mecanicismo que ya Descartes había esbozado. Un universo determinista, un inmenso reloj con infinitud de engranajes, donde todo es comprensible. Y, insinúa, todo reloj requiere la existencia de un relojero. 

Los logaritmos. Galileo Galilei

El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos.

Su uso ha producido un avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, haciendo posibles algunos cálculos complejos.

Anteriormente a la aparición de las calculadoras y ordenadores, fueron muy utilizados en topografía, navegación y otras ramas de las matemáticas. Además del uso del logaritmo de cálculo, el logaritmo natural presenta una solución al problema de la cuadratura de un sector hiperbólico de la mano de Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Al principio, Napier los llamó logaritmos "números artificiales" y a los antilogaritmos "números naturales". Más tarde, formó el logaritmo de Napier, (era una palabra para referirse a un número o números que indica una relación): logos (el sentido de proporción) y arithmos(que significa número). Debido a que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números que representan, una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números. El antilogaritmo, término que fue introducido en el siglo XVII y, aunque nunca se usa ampliamente en matemáticas, persistió en las colecciones de cuadros, hasta que cayó en desuso. 

Cuando John Napier, contemporáneo de Galileo, descubrió el logaritmo en 1614, permitió a los matemáticos calcular grandes cantidades con mayor facilidad, usando sumas y restas para realizar la multiplicación y la división. Todavía era voluminosos, ya que tuvieron que buscar dos logaritmos, sumarlos y luego buscar el número cuyo logaritmo es la suma de los dos.

Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía." 

Galileo Galilei (matemático y físico) nació en Pisa, Italia, en 1564. Su notable talento para la geometría se hizo evidente con un trabajo en el que extendía ideas de Arquímedes para calcular el centro de gravedad de una figura. 

Después de completar el tratado sobre el centro de gravedad de los sólidos, a los 25 años se le asignó la cátedra de matemáticas en Pisa y a los 28, en 1592, mejoró su situación aceptando una posición en Venecia que mantuvo hasta la edad de 46 años. 

Los descubrimientos astronómicos de Galileo apoyaban la teoría de Copérnico sobre las órbitas planetarias y, por refutar los textos bíblicos, presagiaban serios problemas con la Iglesia. En 1611, Galileo fue a Roma para hablar con el padre Clavius, creador del calendario Gregoriano y líder indiscutible de la astronomía entre los jesuitas. Clavius se resistía a creer en la existencia de montañas en la luna, pero debió admitirla cuando Galileo se las hizo observar a través del telescopio. 

Galileo, padre de la ciencia moderna, defendió la matematización de la naturaleza, asentó el procedimiento científico y propició, para bien o para mal, el divorcio iglesia-ciencia. Una parte substancial de su trabajo está relacionado con la mecánica y fue el primero en aplicar matemáticas para su análisis. Propuso la utilización de péndulos como relojes y la ley de aceleración uniforme para cuerpos en caída libre. Sin duda, Galileo Galilei abrió el camino para la Físico-matemática y la Física experimental de los siglos posteriores.

El siglo de los genios: Fermat, Descartes y Pascal

APORTES DE DESCARTES, FERMAT Y PASCAL A LA MATEMÁTICA Gracias a matemáticos como Pierre de Fermat o René Descartes, hoy en día conocemos la geometría analítica. Ellos dos, en el siglo XVII d.C., se interesaron en aplicar los métodos del Álgebra renacentista en la solución de los problemas de geometría. Fueron ellos los encargados de determinar las coordenadas (conocidas hoy como coordenadas cartesianas) y de representar ecuaciones algebraicas gráficamente (y viceversa: escribir la forma algebraica de una representación gráfica). Ambos fueron rivales, y en más de una ocasión, demostraron los mismos resultados. Sin embargo, los méritos son para Descartes ya que Fermat apenas publicaba obras que demostraran su hazaña. Y Fermat y Pascal desarrollaron la teoría de la probabilidad dando lugar a la conocida esperanza matemática. René Descartes (1596) fue una persona que trató la lógica, la ética, la metafísica, la historia y la literatura. Sin embargo, más tarde, se dedicó a trabajar independientemente en el álgebra y geometría, que se convirtieron en sus materias favoritas debido a la certidumbre de sus pruebas. A Descartes le inquietaban los métodos que seguían los griegos para llegar a sus conclusiones ya que ´estos no tenían un sistema de ataque así que él se propuso corregir estas demostraciones utilizando líneas y figuras tridimensionales en una gráfica compuesta por un una línea horizontal (eje X) y una línea vertical (eje Y). Empezó a combinar el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica. Todos hemos oído el término coordenadas cartesianas. Sin embargo, es curioso saber que por un par de años de diferencia, nuestras coordenadas podrían haberse llamado coordenadas fermatianas ya que Descartes publico´ su trabajo sobre geometría en 1637 bajo el título de Discurso del Método, pero Fermat, a pesar de mostrar un análisis más sistemático, no publico´ su obra en vida. Fue en 1679 (después de su muerte) con el titulo Introducción a los Lugares Planos y Sólidos cuando salió´ a la luz su trabajo. De ahí el nombre de geometría cartesiana. Sin embargo, podemos decir que ambos son precursores de la geometría analítica. Para Descartes, las coordenadas de un punto eran un par de números que medían las distancias de dicho punto a dos rectas perpendiculares entre sí: llamadas eje X y eje Y, o bien, eje de abscisas y eje de ordenadas. Según nuestro matemático, el punto de intersección de las dos rectas centrales (los ejes X e Y ) constituye el punto cuyas coordenadas son x = 0, y = 0. A este punto se le llama origen y es el punto referencia de todo el espacio. Así, todo punto situado a la derecha del eje Y contendrá su coordenada x positiva, y viceversa, y todo punto dibujado en la zona superior del eje X tendrá´ coordenada y positiva, y viceversa. Para hallar las coordenadas de cualquier punto combinamos estas cuatro normas. El hecho de determinar coordenadas positivas y negativas constituye la primera diferencia que encontramos entre la geometría analítica de Descartes y Fermat y la geometría que ya existía (cuyos orígenes se remontan a los griegos gracias a Apolonio), que únicamente contenía magnitudes positivas. Fermat, a pesar de no ser un matemático profesional, como Descartes, es quizás más conocido por sus trabajos como su Pequeño teorema de Fermat, los llamados Números de Fermat o sus Números amigos (sobre los cuales Descartes también trabajaba). Fermat dejó sin demostrar muchas proposiciones, pero nunca se ha demostrado que se equivocara en algo. De hecho, matemáticos posteriores han podido demostrar casi todas las proposiciones que ´el no probó, excepto el ´Ultimo Teorema de Fermat, que no se ha resuelto hasta el año 1995. El enunciado de este teorema estaba escrito en un margen de un libro titulado la Aritmética de Diofanto de Alejandría: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla. La nota de Fermat fue descubierta por su hijo Clemente Samuel, quien publicó este libro con las anotaciones de su padre, en el año 1670. En una de sus páginas, donde Fermat escribió este resultado, termina diciendo: Lo lamento, pero este margen es insuficiente para dar los detalles de demostración. No se sabe si realmente Fermat halló la demostración o sólo dijo que la había hallado, ya que no dejo rastro de ella para que otros matemáticos pudieran verificarla. BLAISE PASCAL, LA PRESIÓN Y LAS CALCULADORAS Blaise Pascal fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado una de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Fue el primero en establecer las bases de lo que serían las calculadoras y los ordenadores actuales. También hizo importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad, investigó los fluidos y aclaró conceptos sobre la presión y el vacío. Pascal inventó la primera calculadora, para ayudar a su padre con las cuentas. La máquina, llamada Pascalina, era similar a las calculadoras mecánicas de 1940. El diseño de esta calculadora era complicado, porque en aquélla época, la moneda en Francia no seguía el sistema decimal. Se fabricaron 50 máquinas pero no se vendieron muy bien y dejaron de fabricarse. En 1647 demostró que existía el vacío y en 1648 comprobó que la presión atmosférica disminuía a medida que aumentaba la altura. Seis años más tarde, junto con el matemático francés Fermat, Pascal formuló la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna. Otras de las contribuciones científicas importantes de Pascal son la deducción del llamado "principio de Pascal", que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones, y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales.

La Teoría de la Probabilidad: Pascal, Bernoulli y Laplace

En 1654 se comienza a desarrollar el cálculo de probabilidades cuando Pascal (1623-1662) aplica métodos matemáticos para resolver problemas de juegos de azar con cartas y dados.

Pascal se interesó por este tema a raíz de unas cuestiones que le había propuesto el caballero De Méré. La historia es la siguiente: durante cierto viaje, hacia el año 1652, camino de Poitou, el espiritual Pascal coincidió con el señor De Méré, tal caballero era considerado como un jugador profesional, apasionado por el juego de los dados y las cartas, además de ser un hombre ilustrado e inteligente. Resulta que en el fragor de la conversación éste le propuso una serie de problemas que rápidamente cautivaron la atención del joven Pascal. Uno de ellos fue “Se lanzan n veces dos dados cúbicos. Calcular el número de veces que es preciso lanzar los dados para apostar con ventaja al suceso de obtención del seis en los dos dados”. Durante dos años Pascal ponderó las cuestiones. 

El método de Pascal consistía en el empleo de la ecuación en diferencias con el fin de determinar las probabilidades sucesivas de los jugadores, pasando de los números más pequeños a los siguientes. Pero su método estaba restringido al caso de dos jugadores. Los juegos de azar dejaron de ser meros pasatiempos para convertirse en auténticos retos intelectuales en los que participaron las mejores mentes científicas del momento. 

 Uno de los genios fue Jacques Bernouilli (1654 -1705) quien propuso a los matemáticos y filósofos de su época diversos problemas relacionados con el campo de la probabilidad, cuyas soluciones ofreció después. 

Conviene anotar que la mayoría de los descubrimientos matemáticos de la familia Bernouilli se encuentran en la famosa revista Acta Eruditorum; pero J. Bernouilli escribió, además, una obra de una enorme trascendencia, Ars Conjectandi, que no fue publicada hasta el año 1713. El tratado en cuestión está dividido en cuatro partes. La primera contiene una reimpresión y un comentario a la obra de Huygens, la segunda está dedicada a la teoría de las combinaciones y permutaciones, en ella se encuentra la primera demostración correcta del teorema binomial para exponentes naturales. La tercera parte consiste en la resolución de diversos problemas relativos a juegos de azar y la última es una aplicación de la teoría de la probabilidad a problemas de economía y moral.

Luego con el insigne matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) la teoría de la probabilidad adquiere rango de disciplina científica, cobrando un impulso que ha ido acrecentándose con el paso del tiempo. Con 63 años, Laplace publica, en 1812, un siglo después del escrito de J. Bernouilli, un gran tratado, titulado Théorie Analytique des probabilités (Teoría analítica de las probabilidades). 

Este tratado ha tenido una enorme influencia, contiene importantes contribuciones a todos los dominios de la teoría de las probabilidades; se encuentra el célebre teorema de Bernouilli o ley de los grandes números, que a grandes rasgos se puede enunciar así: “Es muy poco probable que, si efectuamos un número suficientemente grande de experimentos, la frecuencia de un acontecimiento se aparte notablemente de su probabilidad”. Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad. Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces. 

Además, Laplace se ocupa de las probabilidades de las causas de los acontecimientos, siguiendo la línea de Bayes. Con ánimo de difundir sus ideas entre los lectores no especializados escribió, en 1814, una exposición introductoria a la probabilidad titulado Essai philosophique des probabilités. En este pequeño libro Laplace plasma una de sus famosas frases: en el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números.

Descubrió y demostró el papel desempeñado por la distribución normal en la teoría matemática de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo discurren bajo dos vertientes, por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; por otra una demostración rigurosa de lo que ahora se denomina el teorema central del límite.

Resurgir de la Teoría de Números: Fermat, Euler y Gauss

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. 

Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Mobius y la función de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales. 

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

También demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. 

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania, y murió el 23 de febrero de 1855 en Göttingen, también en el país teutón. Sus estudios e investigaciones pueden localizarse tanto en matemáticas como en física y astronomía. Posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor.

Poco después de cumplir 10 años Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y cuentan que en esa época encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos. 

Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás.

En su obra Disquisitiones Arithmeticae, a partir de la aritmética modular (congruencias), reunió una gran cantidad de resultados relacionados con teoría de números (la ley de reciprocidad cuadrática entre ellos). Esta publicación contribuyó de manera fundamental a la sistematización de dicha rama de las matemáticas.