La Teoría de la Probabilidad: Pascal, Bernoulli y Laplace

En 1654 se comienza a desarrollar el cálculo de probabilidades cuando Pascal (1623-1662) aplica métodos matemáticos para resolver problemas de juegos de azar con cartas y dados.

Pascal se interesó por este tema a raíz de unas cuestiones que le había propuesto el caballero De Méré. La historia es la siguiente: durante cierto viaje, hacia el año 1652, camino de Poitou, el espiritual Pascal coincidió con el señor De Méré, tal caballero era considerado como un jugador profesional, apasionado por el juego de los dados y las cartas, además de ser un hombre ilustrado e inteligente. Resulta que en el fragor de la conversación éste le propuso una serie de problemas que rápidamente cautivaron la atención del joven Pascal. Uno de ellos fue “Se lanzan n veces dos dados cúbicos. Calcular el número de veces que es preciso lanzar los dados para apostar con ventaja al suceso de obtención del seis en los dos dados”. Durante dos años Pascal ponderó las cuestiones. 

El método de Pascal consistía en el empleo de la ecuación en diferencias con el fin de determinar las probabilidades sucesivas de los jugadores, pasando de los números más pequeños a los siguientes. Pero su método estaba restringido al caso de dos jugadores. Los juegos de azar dejaron de ser meros pasatiempos para convertirse en auténticos retos intelectuales en los que participaron las mejores mentes científicas del momento. 

 Uno de los genios fue Jacques Bernouilli (1654 -1705) quien propuso a los matemáticos y filósofos de su época diversos problemas relacionados con el campo de la probabilidad, cuyas soluciones ofreció después. 

Conviene anotar que la mayoría de los descubrimientos matemáticos de la familia Bernouilli se encuentran en la famosa revista Acta Eruditorum; pero J. Bernouilli escribió, además, una obra de una enorme trascendencia, Ars Conjectandi, que no fue publicada hasta el año 1713. El tratado en cuestión está dividido en cuatro partes. La primera contiene una reimpresión y un comentario a la obra de Huygens, la segunda está dedicada a la teoría de las combinaciones y permutaciones, en ella se encuentra la primera demostración correcta del teorema binomial para exponentes naturales. La tercera parte consiste en la resolución de diversos problemas relativos a juegos de azar y la última es una aplicación de la teoría de la probabilidad a problemas de economía y moral.

Luego con el insigne matemático francés P. S. de Laplace (1749-1827) la teoría de la probabilidad adquiere rango de disciplina científica, cobrando un impulso que ha ido acrecentándose con el paso del tiempo. Con 63 años, Laplace publica, en 1812, un siglo después del escrito de J. Bernouilli, un gran tratado, titulado Théorie Analytique des probabilités (Teoría analítica de las probabilidades). 

Este tratado ha tenido una enorme influencia, contiene importantes contribuciones a todos los dominios de la teoría de las probabilidades; se encuentra el célebre teorema de Bernouilli o ley de los grandes números, que a grandes rasgos se puede enunciar así: “Es muy poco probable que, si efectuamos un número suficientemente grande de experimentos, la frecuencia de un acontecimiento se aparte notablemente de su probabilidad”. Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad. Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precisamente la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces. 

Además, Laplace se ocupa de las probabilidades de las causas de los acontecimientos, siguiendo la línea de Bayes. Con ánimo de difundir sus ideas entre los lectores no especializados escribió, en 1814, una exposición introductoria a la probabilidad titulado Essai philosophique des probabilités. En este pequeño libro Laplace plasma una de sus famosas frases: en el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números.

Descubrió y demostró el papel desempeñado por la distribución normal en la teoría matemática de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo discurren bajo dos vertientes, por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; por otra una demostración rigurosa de lo que ahora se denomina el teorema central del límite.