En el Renacimiento, se produjo la mayor profusión de aritméticas: la de Francesco Pellos, Luca Pacioli, Stiefel …Una de las anécdotas más curiosas ocurrió cuando, Stiefel, basado en su misticismo numérico, comenzó a predicar el fin del mundo para el 18 de octubre de 1511 estando a punto de ser linchado por sus seguidores al no ocurrir nada ese día. En 1544 después de 9 años de estudio sistemático de la Matemática, publica su Arithmetica integra donde mejora la representación de las potencias de la incógnita en una ecuación y utiliza por primera coeficientes negativos sin embargo, incomprensiblemente, seguirá ignorando las soluciones negativas de una ecuación. Podemos apreciar en la imagen de la derecha, una primera edición de la Arithmetica integra donde se ve claramente el uso de los símbolos +, – y el símbolo para la raíces que ya eran usados con regularidad por aquella época, al menos en las ciudades asociadas dela Hansa, por una pléyade de maestros aritméticos en cuyas obras se desarrolló gran parte de la notación hoy habitual: el + y – para la suma y la resta, o el signo para las raíces.
Pero sin duda alguna, el mayor logro matemático del siglo XVI fue la resolución por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio. Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, médico, matemático, filósofo, escritor y astrólogo, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre renacentista.
Tartaglia nació en 1499 o 1500. Fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que aprendió a escribir. Luego enseñó matemáticas en Verona hasta que en 1534 se traslada a Venecia donde murió en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. El primero en encontrar una fórmula para resolver ciertos tipos de ecuaciones cúbicas fue Scipione del Ferro aunque no los publicó. Un discípulo suyo, Antonio Fiore se hizo con ellos años más tarde. Al mismo tiempo Tartaglia que estaba estudiando el mismo tipo de ecuaciones descubrió más casos que los que podía resolver Fiore. Todo esto concluyó en un desafío público donde ambos contrincantes, Tartaglia y Fiore, proponían una serie de problemas y el que mayor cantidad resolvía resultaba vencedor. Cada participante tenía que depositar una cierta suma de dinero ante notario y proponer varios problemas para que los resolviera su oponente; el que en un plazo de 30 días hubiera resuelto más problemas se llevaría todo el dinero. Tartaglia, suponiendo que Fiore le plantearía ecuaciones de la forma x3 + bx = c, desarrolló rápidamente un método general para resolver dichas ecuaciones; de hecho, los problemas de Fiore fueron de este tipo y Tartaglia los pudo resolver todos. Sin embargo, los que él propuso eran ecuaciones de la forma x3 + ax2 = c, los cuales ya los sabía resolver y resultaron demasiado difíciles para Fiore.
Es fácil adivinar que Tartaglia salió airoso de semejante duelo matemático.Es ahí donde entra nuestro tercer personaje: Girolano Cardano.
También escribió un libro sobre teoría de números en el que pueden encontrarse entretenidos rompecabezas como por ejemplo:
Tres personas quieren repartirse el aceite que hay en una garrafa de 24 litros. Determinar cómo puede hacerse el reparto si se dispone de tres garrafas vacías con capacidades conocidas de 5, 11 y 13 litros.
Girolano Cardano fue un médico de éxito y un reputado astrólogo -predijo incluso el día de su muerte: 21 de septiembre de 1576 fecha en que falleció. Su primera obra matemática fue Practica Arithmeticae publicada en 1539. Al enterarse del gran éxito de Tartaglia contactó con él y luego de rogarle largamente para que le enseñara la fórmula este último accedió a dársela no sin antes hacerle jurar que no la haría pública pues pensaba publicarla el mismo y ganar fama y dinero. Tardó 6 años en revelar la famosa fórmula, probablemente debido, en parte, a que Tartaglia no acababa de publicarla y por tanto decide incluirla en su Ars Magna donde Cardano introduce los números complejos a partir de un sencillo problema geométrico. Tartaglia tomó muy mal el golpe de Cardano culminando esto con un desafío en Milán en 1548 entre Ferrari, yerno de Cardano, y Tartaglia que casi termina en tragedia para Tartaglia según sostienen ciertos historiadores de la época y que terminó en un ”Empate tácito”.
A raíz de la polémica entre Cardano y Tartaglia, Rafael Bombelli, el último de los algebristas italianos del Renacimiento quien había leído el Ars Magna de Cardano a los 19 años, decidió escribir un tratado de álgebra que permitiese a cualquiera dominar el tema sin recurrir a ningún otro libro -debemos destacar que el Ars Magna de Cardano estaba escrito de manera muy poco clara-. Su obra L’Algebra contiene un tratado completo de toda el álgebra conocida en su época. En particular en su L’Algebra utiliza por primera vez los números complejos en una aplicación esencial: la resolución de la ecuación cúbica irreducible, o sea, la que tiene sus tres raíces reales; usando, como el mismo cuenta, una «idea loca» que consistía en considerar que las raíces de lo que hoy denominamos complejos conjugados tendrían que ser a su vez complejos conjugados y por tanto se podía operar con ellos formalmente aunque no existieran.
Rafael Bombelli
Para terminar este periodo destacaremos la figura del francés François Viète, quien, junto con los algebristas italianos, es sin duda la figura cumbre del álgebra renacentista. Fue precisamente Viète quien dio el paso decisivo de distinguir simbólicamente las incógnitas de los parámetros constantes, y apuntó algo hoy habitual pero muy novedoso en aquellos tiempos: la importancia del álgebra de especies o magnitudes. Una de sus primeras obras Canonem mathematicum de la cual se desconoce el lugar y fecha de edición -aunque es posible que sea de la primera-. Viète apuesta decididamente por las fracciones decimales aunque fue Stevin quien difundió el uso de los decimales fuera del ámbito matemático.
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