Resurgir de la Teoría de Números: Fermat, Euler y Gauss

En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. 

Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Mobius y la función de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales. 

El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.

Unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.

También demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. 

Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania, y murió el 23 de febrero de 1855 en Göttingen, también en el país teutón. Sus estudios e investigaciones pueden localizarse tanto en matemáticas como en física y astronomía. Posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor.

Poco después de cumplir 10 años Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y cuentan que en esa época encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos. 

Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás.

En su obra Disquisitiones Arithmeticae, a partir de la aritmética modular (congruencias), reunió una gran cantidad de resultados relacionados con teoría de números (la ley de reciprocidad cuadrática entre ellos). Esta publicación contribuyó de manera fundamental a la sistematización de dicha rama de las matemáticas.