Sucesión de Fibonacci
“Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, macho y hembra, juntos en un sitio cerrado, y que tardan un mes en alcanzar la edad fértil. Alcanzada ésta engendrarán una pareja de conejos cada mes, que a su vez, tras ser fértiles, engendrarán cada mes otras parejas. Y así sucesivamente…¿Cuántos parejas de conejos habrá en un momento determinado?"
Mes 1: A principios nace una pareja de conejos (a), macho y hembra, que tardarán un mes en ser fértiles (nº de parejas: 1= a)
Mes 2: A su inicio la hembra alcanza la fertilidad y se cruza con su pareja. A final de mes el número de parejas seguirá siendo el mismo (nº de parejas: 1= a)
Mes 3: La pareja (a) da a luz a la pareja (b) y se vuelve cruzar (nº de parejas: 2= a, b)
Mes 4: En este mes la pareja (a) vuelve a tener otra pareja (c), pero la (b) aún no, pues la hembra aún no es fértil (lo logra un mes después de nacida). (nº de parejas: 3= a, b, c)
Mes 5: Durante el quinto mes las parejas (a) y (b) dan a luz a las parejas (d) y(e), al tiempo que la pareja (c) tiene su primer parto (f). (nº de parejas: 5= a, b, c, d, e, f)
Mes 6: Establecida la dinámica, en este mes (a), (b) y (c) darían a luz a las parejas (f), (g) y (h), mientras que las parejas (d) y (e) pasan al estado fértil. (nº de parejas: 5= a, b, c, d, e, f, g, h).
Al final obtendríamos como respuesta una sucesión numérica cuyos primeros términos responderían a la siguiente secuencia mensual:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,…
Cruce de las tres parejas
(Problema propuesto por Tartaglia)
Tres maridos celosos se encuentran con sus esposas en la ribera de un río, y encuentran una embarcación sin barquero; ese bote es tan pequeño que no puede transportar más de dos personas por vez. Se pregunta cómo podrán pasar esas seis personas, de tal manera que ninguna de las mujeres quede en compañía de uno o dos hombres en ausencia de su marido.
El error de Tartaglia
En su Tratado de Aritmética, se propuso resolver el problema para cuatro parejas, conservando las condiciones del enunciado precedente; pero este gran sabio se equivocó. Bachet, que lo señaló, ha reconocido que la cosa es imposible, pero sin ofrecer demostración alguna.
He aquí cómo podemos demostrar la imposibilidad de este problema, si no podemos hacer cruzar a más de dos personas por vez.
Este antiguo problema sobre cruzar el río es divertido y tiene varias variantes.
Esta vez propongo dos problemas:
1) Solucionar este problema de las tres parejas.
2) Indicar por qué Tartaglia estaba equivocado para cuatro parejas.
Para la primera parte se puede jugar online en esta página de actiludis (http://www.actiludis.com/wp-content/uploads/2010/05/river.swf)
Solución al problema:
Llamo M a las mujeres y H a los hombres:
H1M1H2M2H3M3
H2M2H3M3 ——H1M1——> H1M1
H1H2M2H3M3 <——H1—— M1
H1H2H3 ——M2M3——> M1M2M3
H1M1H2H3 <——M1—— M2M3
H1M1 ——H2H3——> H2M2H3M3
H1M1H2M2 <——H2M2—— H3M3
M1M2 ——H1H2——> H1H2H3M3
M1M2M3 <——M3—— H1H2H3
M3 ——M1M2——> H1M1H2M2H3
H3M3 <——H3—— H1M1H2M2
. ——H3M3——> H1M1H2M2H3M3
El Problema del Caballo
Euler construyó el llamado “Problema del caballo”. Es un antiguo problema matemático relacionado con el ajedrez. El reto consiste en poner un caballo en una de las casillas de un tablero de ajedrez vacío, y -respetando los movimientos válidos para esta pieza- recorrer cada uno de los casilleros sin pasar dos veces por el mismo, volviendo (o no) a la posición de partida.
Puedes jugar online haciendo click en la siguiente página. (http://nosolojuegos.blogspot.com.ar/2011/04/caballo-del-ajedrez.html )
El problema del dado
Este problema es propuesto por el caballero De Meré a Pascal, tal caballero era considerado como un jugador profesional, apasionado por el juego de los dados y las cartas. A Pascal lo cautivó inmediatamente este problema.
En primer lugar, propuso lanzar un dado cuatro veces consecutivas y apostar que saldría por lo menos un seis; si el seis no saliese, entonces el oponente ganaría el juego. En el segundo juego, de Méré propone lanzar dos dados 24 veces y apostar que la pareja de seis aparecería por lo menos una vez.
Problema que publicó Jacques Bernoulli.
"Tres jugadores A, B y C, teniendo 12 fichas de las cuales cuatro son blancas y ocho negras, juegan con la condición de que gana el primer jugador que obtiene (al extraer sin mirar) una ficha blanca y A extrae primero, luego B, luego C, luego A nuevamente y así sucesivamente. La pregunta es ¿Cuál es la proporción de la probabilidad de ganar de cada jugador con respecto de los otros?"
Anécdota de Gauss.
¿ Cuánto es la suma de los 100 primeros números naturales?
La suma de los 100 primeros números naturales es 5050.
Veamos cómo lo hizo:
Si echamos un vistazo a los 100 primeros números naturales:
1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100
podemos darnos cuenta de que la suma de términos equidistantes es constante:
1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ….. = 101
Como con los 100 primeros números naturales podemos formar 50 pares de números obtenemos lo siguiente:
101 · 50 = 5050
En el tema de Galileo Galilei(logaritmos), podemos destacar que fue propuesto por Napier por primera vez en 1614. Esta palabra fue el nombre que transformó en un sentido del número que indica una proporción, causó gran impacto en las ciencias y ayudo a resolver grandes cifras y cálculos complejos.
ResponderBorrarLos logaritmos fueron realizados para resolver problemas aritméticos y geométricos, evitando complejas multiplicaciones y divisiones sustituidas por la adición y la sustracción.
Respecto al tema geometría analítica, su desarrollo es muy bueno, ya que por medio del álgebra se puede representar geometría. Su desarrollo histórico comenzó con la geometría cartesiana y plantea dos cuestiones:
ResponderBorrarDado el lugar geométrico de un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces llamada erróneamente serie de Fibonacci),la actividad planteada es excelente.
ResponderBorrarFibonacci, Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles.
Esta sucesión mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en las matemáticas de la India.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos {\displaystyle f_{n+1}/f_{n}} f_{{n+1}}/f_{n} se acerca a la relación áurea fi ( {\displaystyle \phi } \phi ) cuando n,, tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite.
En la Evolución de la aritmética entre los Árabes, se destaca la escritura entre los símbolos y los aportes de Paenza, escritor que también publica en Matemática estás allí, como trabajar los números enteros comenzando a sacar los mismos desde una bolsa.
ResponderBorrar¡¡Hola chicas!!
ResponderBorrarAntes que nada, quiero hacerles llegar mis felicitaciones por el blog. Me pareció muy llamativo el formato de la página principal, acorde al tema desarrollado.
Las actividades me parecieron muy interesantes. Permiten que los alumnos puedan sentirse capaces de resolver ejercicios con la misma dificultad, como lo hicieron los grandes matemáticos, en este caso Tartaglia, Euler y Bernoulli; matemáticos que ellos consideran “genios” e inalcanzables en cuanto a conocimiento. Esto permite motivarlos, brindándoles confianza en sí mismo, y así generar interés en la matemática y en su desarrollo a lo largo del tiempo.
Por otro lado, la matemática medieval y renacentista tiene estrecha relación con la matemática en la antigüedad, a este último lo podrán ver a través de nuestro blog http://matematicaenlaantiguedad.blogspot.com.ar/, y podrán apreciar la conexión del desarrollo matemático de los árabes basados, principalmente, en la de los egipcios, y en menor medida en la de los babilónicos e indios. Para ampliar un poquito esta relación, les adjunto un video donde podrán observar algunas de las ideas tomadas de la antigüedad.
https://www.youtube.com/watch?v=Fkm8ZS2VJVI
Por último, al leer el blog me encontré con algunas fallas en cuanto a la ortografía, como por ejemplo en el desarrollo del Mecanicismo me encuentro con este párrafo “En su majestuosa ecuación todo el universo físico queda unificado: la atracción entre dos cuerpos, sean los que sean, es proporcional a sus masas y inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Y, insinúa, todo reloj requiere la existencia de un relojero.” Errores que se pueden corregir, pero debemos tener en cuenta que estamos enseñando y es importante prestar mucha atención a ello.
Nuevamente ¡¡ felicitaciones!! Las espero para que conozcan nuestro blog.
Saludos.
Buenas tardes chicos! Primero que todo,excelente trabajo, se puede ver buen recorrido por todo el material histórico que les toco y una muy buena manera de describir cada uno de los historiadores que han tratado. Aquí se observa una forma clara, precisa y bien fundamentada de trabajar no solo la parte teórica, sino también práctica como se puede ver en las actividades, tal el caso dela sucesión de Fibonacci, donde plantea la situación de los conejos.
ResponderBorrarFinalmente se puede comprobar la veracidad del trabajo con los textos de internet. Felicitaciones...
Hola chicos!
ResponderBorrarExcelente trabajo el que han realizado, se puede ver una muy buena forma de tratar el tema no solo en los textos,sino también en las actividades que se pueden ver en el blog.
Además dichos textos comparten la veracidad de las paginas de internet.
Unos de los puntos que más me gusto fue como trataron la sucesión de Fibonaci, donde deja muy claro la continuidad de la misma y hasta los lugares en donde la podemos encontrar.
Por lo visto su página se observa,colorida, elaborada y atractiva, de interés a los demás.
Finalmente un material super importante para trabajarlo como capital cultural. Éxitos.